威廉·向克斯的憾事與圓周率中的統計

威廉·向克斯的憾事與圓周率中的統計

圓周率π是圓周長與直徑的比值。公元前三世紀，古希臘著名學者阿基米德計算出π≈3.14。公元263年前後，我國魏晉時期的數學家劉徽，利用割圓術計算了圓內接正3072邊形的面積，求得π≈3927/1250=3.1416。又過了約兩百年，我國南北朝時期傑出的數學家祖沖之確定了π的真值在3.1415926與3.1415927之間。祖沖之之後的第一個重大突破，是阿拉伯數學家阿爾·卡西，他計算了圓內接和外切正3×228＝805306368邊形的周長后得出：π≈3.1415926535897932

公元1610年，德國人魯道夫（1540～1610）把π算到了小數點后35位。

往後，記錄一個接一個地被刷新：1706年，π的計算越過了百位大關，1842年達到了200位，1854年突破了400位，1872年，英國學者威廉·向克斯（1812～1882）花費了整整二十個年頭把π的值算到了小數點后707位。向克斯死後，人們紀念他，就在他的墓碑上刻下了他一生心血的結晶：π的707位小數。此後半個多世紀，人們對威廉·向克斯的計算結果深信不疑，以至於在1937年巴黎博覽會發現館的天井裡，依然顯赫地刻着向克斯的π值。

又過了若干年，數學家法格遜對向克斯的計算結果產生懷疑，他認為在π的數值式中，各數碼出現的概率都應當等於1/10。於是，他統計了威廉·向克斯π的頭608位小數中，各數碼出現的情況：

法格遜覺得：向克斯計算的π，數碼出現的次數不是基本相同，可能是計算有錯。於是，他用當時最先進的計算工具，從1944年5月到1945年5月，整整算了一年，終於發現：向克斯π的707位小數中，只有前527位是正確的，由於當初向克斯沒有發現，使他白白浪費了許多年的光陰，這真是終生的憾事。法格遜的成就，基於他的一個猜想，即在π值的數值式中各數碼出現的概率相等。儘管這個猜想曾導致法格遜發現並糾正了向克斯的錯誤，然而猜想畢竟不等於事實！法格遜想驗證它，卻無能為力，人們想驗證它，又苦於已知π的位數太少。

但是情況很快有了轉機，隨着電子計算機的出現和應用，計算π的值有了飛速進展。1961年，美國學者丹尼爾和倫奇把π算到了小數點后100265位，20年後，日本人又把記錄推過了200000位大關。於是，人們的心中又重新燃起了驗證法格遜猜想的希望之火。1973年，法國學者讓·蓋尤與芳旦娜小姐合作，對π的前一百萬位小數中各數碼出現的頻率，進行了有趣的統計，得出以下結果。

從上表看出，儘管各數字出現也有某種起伏，但基本上平分秋色。看來，法格遜的想法應當是正確的！